Granica funkcji – wartość, do której obrazy danej funkcji zbliżają się nieograniczenie dla argumentów dostatecznie bliskich wybranemu punktowi. Funkcjonują dwie równoważne definicje podane przez Augustina Louisa Cauchy’ego oraz Heinricha Eduarda Heinego . n {\displaystyle n} n sin ⁡ ( 1 / n ) {\displaystyle n\sin (1/n)} 1. 0 Lubi spacery po lesie, plażowanie i kajaki. Na tym filmiku pokazuję, jak obliczyć granicę ciągu zawierającego – przy użyciu twierdzenia o trzech ciągach: Zaakceptuj ciasteczka z kategorii Dodatkowe , aby obejrzeć zawartość. Mając do policzenia granicę ciągu z w środku, na przykład: …możemy skorzystać z twierdzenia o trzech Witam, ostatnio na kolokwium z matematyki trafił mi się taki przykład i nie wiedziałem jak go rozwiazać: \sqrt[n]{ 2^{n}+ 5^{n} + 7^{n} } Należy tutaj wykorzyst Matematyka.pl Forum matematyczne: miliony postów, setki tysięcy tematów, dziesiątki tysięcy użytkowników - pomożemy rozwiązać każde zadanie z matematyki miki999 Użytkownik Posty: 8691 Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Gdańsk Podziękował: poverty line • railway line • product line •. boundary change • Boundary Commission • boundary condition •. granica - tłumaczenie na angielski oraz definicja. Co znaczy i jak powiedzieć "granica" po angielsku? - line, border, frontier, boundary, perimeter, threshold. f(x) = g) jeżeli dla każdego ciągu {x n} zbieżnego do ai o wyrazach różnych od a zachodzirówność: lim n→∞ f(x n) = g (1) Przykł.lim x→0 (x2) = 0.Weźmybowiemdowolnyciąg{x n}zbieżnydozera;mamy: lim n→∞ (x n)2 = lim n→∞ x n 2 = 0. Przykł.Rozważmyfunkcjęsgn(x),definiowanąjako sgn(x) = +1 dla x>0 0 dla x= 0 −1 dla x . Definicja Niech f(x) oznacza funkcję, która jest określona w przedziale .Funkcja f(x) ma w punkcie x0 granicę lewostronną g (używamy zapisu ) jeżeli dla każdego ciągu argumentów (xn) o wyrazach należących do przedziału zbieżnego do x0, ciąg wartości (f(xn)) jest zbieżny do g. Definicja Niech f(x) oznacza funkcję, która jest określona w przedziale .Funkcja f(x) ma w punkcie x0 granicę prawostronną g (używamy zapisu ) jeżeli dla każdego ciągu argumentów (xn) o wyrazach należących do przedziału zbieżnego do x0, ciąg wartości (f(xn)) jest zbieżny do g. Twierdzenie Funkcja f(x) ma w punkcie x0 granicę, jeżeli istnieje lewostronna i prawostronna granica funkcji w punkcie x0 i granice te są równe. Poniższy rysunek ilustruje różnicę między granicą prawostronną i lewostronną: Funkcja przedstawiona na rysunku ma różne granice lewostronną i prawostronną, więc w punkcie x0 nie posiada granicy. Przykład Obliczyć granicę lewostronną i prawostronną funkcji: w punkcie równym Obliczamy granicę lewostronną: Wyjaśnienia wymaga zapis w nawiasach kwadratowych. Zapis 0 - w nawiasie kwadratowym oznacza, że (x) jest zbieżne do zera i przyjmuje ujemne wartości. Zapis 0+ w nawiasie kwadratowym oznacza, że (x) jest zbieżne do zera i przyjmuje dodatnie zapis ułatwia rachunek granic. Przyjrzyjmy się granicy prawostronnej. Zgodnie z definicją bierzemy pod uwagę ciąg wartości funkcji (xn) o wyrazach większych od zera, czyli należących do przedziału (0;a), który jest zbieżny do zera. Granica funkcji prawostronna będzie równa granicy ciągu wartości funkcji: Wszystkie wyrazy ciągu argumentów są dodatnie zgodnie z założeniem, ciąg argumentów jest zbieżny do zera, więc ma tu zastosowanie następujące twierdzenie, zgodnie z którym powyższa granica jest równa plus nieskończoności. Zapis z nawiasami kwadratowymi upraszcza całe z rozwiązaniamiZadania związane z tematem:Granica lewostronna i prawostronna funkcji Zadanie - granica lewostronna i prawostronnaObliczyć granicę prawostronną i lewostronną funkcjia) w punkcie x0=2b) w punkcie x0=-3Pokaż rozwiązanie zadania Zadanie - granica lewostronna i prawostronneObliczyć granicę prawostronną i lewostronną funkcji:a) w punkcie x0=1b) w punkcie x0=0Pokaż rozwiązanie zadania Zadanie - granica prawostronna i lewostronnaObliczyć granicę prawostronną i lewostronną funkcji w punkcie x0=0Pokaż rozwiązanie zadania Zadanie - granica lewostronna i prawostronnaObliczyć granicę prawostronną i lewostronną funkcji w punkcie x0=-1Pokaż rozwiązanie zadaniaInne zagadnienia z tej lekcjiSąsiedztwo punktuCo to jest sąsiedztwo punktu?Granica funkcjiGranica funkcji w punkcie, podstawowe wzory, obliczanie granic, definicja Heinego oraz Cauchy' niewłaściwa funkcjiCo to jest granica niewłaściwa funkcji i jak ją obliczamy?Granica funkcji w nieskończonościDefinicja granicy funkcji w nieskończoności oraz sposoby obliczania granic wielomianów i funkcji wymiernychTest wiedzySprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.© 2010-05-12, ART-860 Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu. Granica ciągu liczbowego z liczbą e 10 przykładów z wyznaczeniem granicy ciągu liczbowego z liczbą e, gdy n->∞.Mówimy, że liczba g jest granicą ciągu (an) nϵN+ wtedy i tylko wtedy, gdy do każdego otoczenia liczby g należą prawie wszystkie wyrazy tego ciągu. Prawie wszystkie wyrazy nieskończonego ciągu spełniają pewien warunek, wtedy i tylko wtedy, gdy warunku tego nie spełnia co najwyżej skończona liczba wyrazów. Mówimy, że ciąg (an), gdzie nϵN+, dąży do nieskończoności wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego A (A ϵ R) prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od A. I przykład Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(n+7)/(n+9)]3n+8 II przykład Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(n+2)/(n-5)]-4n+3 III przykład Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(3n+4)/(3n-2)]7n+1 IV przykład Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(5n+7)/(5n-1)](n+1)/9 V przykład Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(7n-5)/(7n+6)]-3n+4 VI przykład Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(n2+1)/(n2+5)]2n2+3 VII przykład Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(3n2-4)/(3n2+2)]7n2+1 VIII przykład Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(-5n3+2)/(-5n3-1)]6n3+5 IX przykład Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(9n9-5)/(9n9+2)]8n9+2 X przykład Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(-7n21+4)/(-7n21+1)]2n21+3 Post nr 352 1 Uzupełnienie wiadomości o granicach ciągu Wstęp do analizy, uzupełnienie wiedzy z klasy I,II Wyświetl 2 Granica funkcji w punkcie W tym temacie dowiesz się czym jest granica funkcji w punkcie. Wyświetl 3 Obliczanie granic funkcji w punkcie W tym temacie dowiesz się jak obliczać trudniejsze rodzaje granic funkcji w punkcie. Wyświetl 4 Granice jednostronne funkcji w punkcie W tym temacie dowiesz się czym jest granica jednostronna funkcji w punkcie. Wyświetl 5 Granice funkcji w nieskończoności W tym temacie nauczysz się liczyć granice funkcji w nieskończonościach. Wyświetl 6 Granice niewłaściwe funkcji W tym temacie dowiesz się czym jest granica niewłaściwa funkcji. Wyświetl 7 Ciągłość funkcji w punkcie W tym temacie dowiesz się jak określić ciągłość dowolnej funkcji w punkcie. Wyświetl 8 Ciągłość funkcji w zbiorze Wiesz już jak określić ciągłość dowolnej funkcji w punkcie. Tym razem rozpatrzymy ciągłość funkcji w zbiorze. Wyświetl 9 Asymptoty wykresu funkcji W tym temacie dowiesz się czym jest asymptota wykresu funkcji. Wyświetl 10 Pochodna funkcji w punkcie W tym nauczysz się obliczać pochodną funkcji w punkcie. Wyświetl 11 Funkcja pochodna Wiesz już w jaki sposób obliczamy pochodną funkcji w punkcie. W tym temacie poszerzysz swoją wiedzę na temat pochodnych. Wyświetl 12 Styczna do wykresu funkcji W tym temacie dowiesz się jak wyznaczyć wzór stycznej do dowolnej funkcji przy użyciu rachunku pochodnych. Wyświetl 13 Ekstrema lokalne funkcji W tym temacie poznasz uniwersalną metodę liczenia ekstremów dowolnej funkcji. Wyświetl 14 Największa i najmniejsza wartość funkcji w przedziale W tym temacie dowiesz się w jaki sposób wskazać największą oraz najmniejszą wartość funkcji w pewnym przedziale. Wyświetl 15 Badanie przebiegu zmienności funkcji W oparciu o poprzednie działy jesteś w stanie sporządzić poglądowy rysunek dowolnej funkcji. W tym temacie dowiesz się jak to zrobić. Wyświetl 16 Zadania optymalizacyjne Istotą zadań optymalizacyjnych jest wyznaczenie jak najlepszej (najbardziej optymalnej) wartości pewnej funkcji w danym kontekście. W tym dziale znajdziesz przykłady tego typu zadań wraz z ich rozwiązaniami. Wyświetl 17 Pochodna funkcji a monotoniczność funkcji W tym temacie dowiesz się w jakim celu korzysta się z pochodnej w zadaniach dotyczących monotoniczności funkcji. Wyświetl Spis treści1. Co to jest ciąg liczbowy?2. Ciągi ograniczone3. Ciągi monotoniczne4. Ciąg arytmetyczny5. Ciąg geometryczny6. Granice Granice właściwe i niewłaściwe - definicje7. Jak liczyć granice właściwe ciągów? Granice ciągów - podstawowe Twierdzenie o trzech Granica iloczynu ciągu ograniczonego i ciągu zbieżnego do zera8. Twierdzenie o dwóch ciągach9. Symbole Jak pozbyć się symboli nieoznaczonych?10. Jak liczyć granice niewłaściwe ciągów?11. Jak liczyć granice ciągów w kalkulatorze Sprawdź swoją wiedzę o ciągach liczbowych - zadania kontrolne1. Co to jest ciąg liczbowy?Ciągi liczbowe najczęściej oznacza się symbolami:\[(a_n),\,\,\,(b_n),\,\,\,(c_n),\,\,\,\textrm{itd.}\] Oto kilka przykładów:Ciąg \(a_n\) jest skończony, ponieważ zawiera tylko pięć wyrazów (liczb):\[(a_n)=(1,\,2,\,3,\,4,\,5)\]Ciąg \(b_n\) zawiera tylko dwie liczby:\[(b_n)=(\sin(1),\,\sin(3))\]Ciągi \(c_n\) i \(d_n\) są nieskończone, ponieważ zawierają nieskończenie wiele liczb (oznaczamy to trzema kropkami na końcu ...):\[(c_n)=\left(-\frac{1}{4},\,\frac{1}{4},\,-\frac{1}{4},\,\frac{1}{4},...\right)\]\[(d_n)=\big(-2\sqrt{2},\,-4\sqrt{2},\,-8\sqrt{2},...\big)\]Więcej przykładów ciągów znajdziesz w internetowej encyklopedii ciągów liczbowych (spróbuj wpisać kilka liczb po przecinku, kliknij "Search" i zobacz czy Twój ciąg został już przez kogoś "wynaleziony" ;-)Ciąg liczbowy to funkcja odwzorowująca zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych, a tak po ludzku to poprostu ponumerowany zbiór elementów (liczb).Wyrazy ciągu liczbowego (czyli jego elementy) oznaczamy przez:\[a_1,\,a_2,\,a_3,\,a_4,...\]\[b_1,\,b_2,\,b_3,\,b_4,...\]Dla przykładu pierwszy wyraz ciągu \((a_n)=(1,2,3,4,5,...)\), to \(a_1=1\), piąty wyraz to \(a_5=5\), setny wyraz to \(a_{100}=100\).Ciągi liczbowe można określać na różne sposoby:1. za pomocą wzoru, (tzw. wzór ogólny ciągu) - podaje się jeden ogólny przepis na każdy z wyrazów ciągu: Przykład 1\[a_n=n\,-\,\textrm{wzór ciągu}\]Wzór ciągu stanowi przepis jak tworzyć kolejne wyrazy, zobacz sam (bierzemy \(n=1,2\) i \(n=100\)):\[a_1=1,\,\,\,a_2=2,\,...,\,a_{100}=100\]Przykład 2\[b_n=\sin(2n-1)\,-\,\textrm{wzór}\]Chcąc zapisać jakiś wyraz ciągu musimy zastąpić indeks \(n\) konkretną liczbą:\[b_1=\sin(1),\,\,\,b_2=\sin(3),\,\,\,b_3=\sin(5),\,\,\,b_4=\sin(7),\,...,\,b_{9}=\sin(2\cdot 9-1)=\sin(17)\]Przykład 3\[c_n=\frac{(-1)^n}{4}\,-\,\textrm{wzór}\]Ciąg może mieć wyrazy różniące się tylko znakiem (plus, minus):\[c_1=-\frac{1}{4},\,\,\,c_2=\frac{1}{4},\,\,\,c_3=-\frac{1}{4},\,\,\,c_4=\frac{1}{4},\,...,\,c_{31}=\frac{(-1)^{31}}{4}=-\frac{1}{4}\]Przykład 4\[d_n=-2^n\sqrt{2}\,-\,\textrm{wzór}\]Kilka wyrazów ciągu:\[d_1=-2\sqrt{2},\,\,\,d_2=-4\sqrt{2},\,\,\,d_3=-8\sqrt{2},\,...,\,d_{10}=-2^{10}\sqrt{2}\]2. rekurencyjnie - podaje się jeden lub kilka pierwszych wyrazów ciągu, a każdy następny wyraz można zapisać za pomocą poprzednich wyrazów Przykład 1Ciąg arytmetyczny\[a_1=2,\,\,\,a_{n+1}=a_n+1\]Pierwszy wyraz jest ustalony i wynosi 1. Każdy następny wyraz ciągu (zaczynając od drugiego) tworzymy przez dodanie liczby 1 do poprzedniego wyrazu:\[a_1=2,\,\,\,a_2=a_1+1=2+1=3,\,\,\,a_{3}=a_{2}+1=3+1=4\]Przykład 2Ciąg geometryczny:\[b_1=-2\sqrt{2},\,\,\,b_{n+1}=2 b_n\]Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest podany (np. \(-2\sqrt{2}\)), każdy następny wyraz (począwszy od drugiego) tworzymy przez pomnożenie poprzedniego wyrazu przez jakąś liczbę (np. 2):\[b_1=-2\sqrt{2},\,\,\,b_2=2b_1=-4\sqrt{2},\,\,\,d_3=-8\sqrt{2},\,...,\,d_{10}=-2^{10}\sqrt{2}\]Przykład 3Ciąg Fibbonaciego:\[c_1=1,\,\,\,c_2=1,\,\,\,c_{n+2}=c_{n+1}+c_{n}\]Pierwsze dwa wyrazy są równe 1, każdy następny wyraz poczynając od trzeciego jest równy sumie dwóch poprzednich:\[c_1=1,\,\,\,c_2=1,\,\,\,c_3=c_2+c_1=1+1=2,\,\,\,c_{4}=c_3+c_2=2+1=3\]3. opisowo, poprzez podanie (słownie) własności jednoznacznie określającej ciąg: Przykład\[a_n\,-\,\textrm{n-ta liczba pierwsza}\]\[a_1=2,\,\,\,a_2=3,\,\,\,a_3=5,\,\,\,a_4=7,\,\,\,a_5=11,\,\,\,a_6=13,\,\,\,a_7=17\]4. wypisując wyrazy ciągu - sprawdza się szczególnie w przypadku ciągów skończonych: PrzykładyCiągi skończone:\[\left(1,1,1,1,1\right)\]\[\left(\pi,-2\pi,e,e^\pi,\pi^e\right)\]Ciągi nieskończone:\[\left(1,1,1,1,1,...\right)\]Przy takim opisie ciągu nieskończonego, musimy się domyślić jak wyglądają dalsze wyrazy powyższym przykładzie wszystkie wyrazy ciągu są równe 1.\[\left(1,-1,1,-1,1,-1,...\right)\]Wyrazy powyższego ciągu to na przemian 1 i Ciągi liczbowe, podobnie jak pochodne i granice funkcji, są jednym z podstawowych zagadnień analizy Ciągi ograniczoneCiąg liczbowy \((a_n)\) jest ograniczony z dołu, gdy wszystkie jego wyrazy są większe od pewnej liczby rzeczywistej \(D\), czyli: \[\exists\, D\in\mathbb{R}\,\,\forall\, n\in\mathbb{N}\](istnieje liczba rzeczywista \(D\), taka, że dla każdej liczby naturalnej \(n\) zachodzi nierówność) \[a_n\ge D\]PrzykładCiąg \(a_n=n\) jest ograniczony z dołu, ponieważ:\[a_n=n\ge 1=D,\,\,\,\textrm{dla każdego}\,n\in\mathbb{N}\]Aby to lepiej zrozumieć, wypiszmy kilka wyrazów tego ciągu:\[a_1=1,\,a_2=2,\,a_3=3,\,a_4=4,...\]Widać, że ciąg "startuje" od liczby 1 i ciągle się zwiększa, więc na pewno każdy jego wyraz jest większy (bądź równy) od \((a_n)\) jest ograniczony z góry, gdy wszystkie jego wyrazy są mniejsze od pewnej liczby rzeczywistej \(G\), czyli: \[\exists\, G\in\mathbb{R}\,\,\forall\, n\in\mathbb{N}\] (istnieje liczba rzeczywista \(G\), taka, że dla każdej liczby naturalnej \(n\) zachodzi nierówność) \[a_n\le G\]PrzykładCiąg \(a_n=1-n\) jest ograniczony z góry, ponieważ:\[a_n=1-n\le 0=G,\,\,\,\textrm{dla każdego}\,n\in\mathbb{N}\]Aby to lepiej zrozumieć, wypiszmy kilka wyrazów tego ciągu:\[a_1=0,\,a_2=-1,\,a_3=-2,\,a_4=-3,...\]Widać, że ciąg "startuje" od liczby 0 i się zmniejsza, więc na pewno każdy jego wyraz jest mniejszy (bądź równy) od \((a_n)\) jest ograniczony, gdy wszystkie jego wyrazy są większe od pewnej liczby rzeczywistej \(D\) i jednocześnie mniejsze od pewnej liczby rzeczywistej \(G\), czyli gdy jest jednocześnie ograniczony z dołu i z góry: \[\exists\, D,G\in\mathbb{R}\,\,\forall\, n\in\mathbb{N}\] (istnieją liczby rzeczywiste \(D\) i \(G\), takie, że dla każdej liczby naturalnej \(n\) zachodzą nierówności)\[D\le a_n\le G\]PrzykładCzy ciąg \(a_n=\frac{1}{n}\) jest ograniczony?Krok 1Warto wypisać sobie kilka wyrazów ciągu:\[a_1=\frac{1}{1}=1,\,\,a_2=\frac{1}{2},\,\,a_3=\frac{1}{3},\,\,\,a_4=\frac{1}{4}\]Krok 2Widać, że ciąg jest ograniczony z góry przez liczbę \(G=1\), czyli:\[a_n=\frac{1}{n}\le 1=G,\,\,\textrm{dla każdego}\,\,n\in\mathbb{N}\]Krok 3Można też zauważyć, że wyrazy ciągu \(a_n\) są coraz mniejsze wraz ze wzrostem indeksu n, jednak są zawsze większe od \(D=0\), czyli:\[a_n=\frac{1}{n}> 0=D,\,\,\textrm{dla każdego}\,\,n\in\mathbb{N}\]Dlatego ciąg \(a_n=\frac{1}{n}\) jest ograniczony z dołu przez \(D=0\).Ktok 4Ciąg \(a_n=\frac{1}{n}\) jest ograniczony z dołu i z góry, zatem jest Ciągi monotoniczneMonotoniczność ciągu oznacza, że ciąg jest stały lub rosnący lub niemalejący lub malejący lub liczbowy \((a_n)\) jest stały, gdy jego wyrazy pozostają takie same wraz ze wzrostem wartości indeksu \(n\): \[a_1=a_2=a_3=...\] czyli \[\forall\, n\in\mathbb{N}\] (dla każdej liczby naturalnej \(n\) zachodzi równość) \[a_n=a_{n+1}\]Przykład\[a_n=1\,-\,\textrm{ciąg stały}\]ponieważ dla każdego \(n\in \mathbb{N}\) mamy:\[a_n=1=a_{n+1}\]np. dla \(n=1\) mamy:\[a_1=1=a_{2}\]Ciąg liczbowy \((a_n)\) jest rosnący, gdy jego wyrazy zwiększają się wraz ze wzrostem wartości indeksu \(n\): \[a_1a_2>a_3>...\] czyli \[\forall\, n\in\mathbb{N}\] (dla każdej liczby naturalnej \(n\) zachodzi nierówność) \[a_n> a_{n+1}\]Przykład\[a_n=\frac{1}{n}\,-\,\textrm{ciąg malejący}\]ponieważ dla każdego \(n\in \mathbb{N}\) mamy:\[a_n=\frac{1}{n}>\frac{1}{n+1}=a_{n+1}\]np. dla \(n=3\) mamy:\[a_3=\frac{1}{3}>\frac{1}{4}=a_{4}\]Ciąg liczbowy \((a_n)\) jest nierosnący, gdy jego wyrazy zmniejszają się ub pozostają niezmienione (równe) wraz ze wzrostem wartości indeksu \(n\): \[a_1\ge a_2\ge a_3\ge ...\] czyli \[\forall\, n\in\mathbb{N}\] (dla każdej liczby naturalnej \(n\) zachodzi nierówność) \[a_n\ge a_{n+1}\]Przykład\[a_n=-n\,-\,\textrm{ciąg nierosnący}\]ponieważ dla każdego \(n\in \mathbb{N}\) mamy:\[a_n=-n\ge -(n+1)=a_{n+1}\]np. dla \(n=4\) mamy:\[a_4=-4\ge -5=a_{5}\]Istnieje też pojęcie monotoniczności w ścisłym sensie, co oznacza, że ciąg jest rosnący lub sprawdzić monotoniczność ciągu w praktyce?Monotoniczność ciągu \((a_n)\) możesz ustalić analizując znak różnicy\[a_{n+1}-a_n\]lub, gdy ciąg \(a_n\) ma wyrazy dodatnie badając relację między liczbą 1, a wyrażeniem\[\frac{a_{n+1}}{a_n}\]Ciąg \((a_n)\) jest rosnący, gdy\[a_{n+1}-a_n>0\]lub gdy \(a_n>0\) dla każdego \(n\in\mathbb{N}\) oraz\[\frac{a_{n+1}}{a_n}>1\]Ciąg \((a_n)\) jest niemalejący, gdy\[a_{n+1}-a_n\ge 0\]lub gdy \(a_n>0\) dla każdego \(n\in\mathbb{N}\) oraz\[\frac{a_{n+1}}{a_n}\ge 1\]Ciąg \((a_n)\) jest malejący, gdy\[a_{n+1}-a_n0\) dla każdego \(n\in\mathbb{N}\) oraz\[\frac{a_{n+1}}{a_n}0\) dla każdego \(n\in\mathbb{N}\) oraz\[\frac{a_{n+1}}{a_n}\le 1\]PrzykładJak wykazać, że ciąg \(a_n=\frac{1}{n+1}\) jest malejący?Sposób ISprawdzamy jaki jest znak wyrażenia \(a_{n+1}-a_n\), tj.\[a_{n+1}-a_n=\frac{1}{(n+1)+1}-\frac{1}{n+1}=\frac{n+1}{(n+1)(n+2)}-\frac{n+2}{(n+1)(n+2)}=\]\[=\frac{n+1-(n+2)}{(n+1)(n+2)}=\frac{n+1-n-2}{(n+1)(n+2)}=\frac{-1}{(n+1)(n+2)}0\)malejący, gdy \(r0\) i \(q>1\) lub \(a_11\) lub \(a_1>0\) \(00\) istnieje \(n_0\in\mathbb{R}\), takie, że dla każdego \(n\in\mathbb{N}\) i \(n>n_0\):\[|a_n-g|0\) istnieje \(n_0\in\mathbb{R}\), takie, że dla każdego \(n\in\mathbb{N}\) i \(n>n_0\):\[a_n>\epsilon\]Ciąg \((a_n)\) jest zbieżny do granicy niewłaściwej \(-\infty\), czyli\[\lim\limits_{n\to \infty}a_n=-\infty\]wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego \(\epsilon>0\) istnieje \(n_0\in\mathbb{R}\), takie, że dla każdego \(n\in\mathbb{N}\) i \(n>n_0\):\[a_n0\]\[\lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{n}=0\]Granica z silnią:\[\lim\limits_{n\to\infty} \frac{A^n}{n!}=0,\,\,\,\textrm{dla}\,\,\,\,A>0\]\[\lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{n!}=0\]Granica pierwiastka n-tego stopnia z n:\[\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{n}=1\]Granica pierwiastka n-tego stopnia z liczby dodatniej:\[\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{A}=1,\,\,\,\textrm{dla}\,\,\,A>0\]Granice nieskończone:\[\lim\limits_{n\to\infty} n^p=\infty,\,\,\,\textrm{dla}\,\,\,p>0\]\[\lim\limits_{n\to\infty} n=\infty\]\[\lim\limits_{n\to\infty} n^n=\infty\]Granice ciągu geometrycznego:\[\lim\limits_{n\to\infty} A^n=\infty,\,\,\,\textrm{dla}\,\,\,A>1\]\[\lim\limits_{n\to\infty} A^n=0,\,\,\,\textrm{dla}\,\,\,|A|n_0\]oraz\[\lim\limits_{n\to \infty} a_n=\lim\limits_{n\to \infty}c_n=g\]to\[\lim\limits_{n\to \infty}b_n=g\]Przykład:Wykarzemy, że granica ciągu \(\frac{\sin n}{n^2}\) jest równa 0, czyli:\[\lim\limits_{n\to \infty}\frac{\sin n}{n^2}=0\]Zauważmy, że dla wszystkich \(n\in \mathbb{N}\):\[\frac{-1}{n^2}\le \frac{\sin n}{n^2}\le \frac{1}{n^2}\]ponieważ \(\sin(n)\in[-1,1]\), ponadto:\[\lim\limits_{n\to \infty}\frac{-1}{n^2}=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{1}{n^2}=0\]Zatem z Twierdzenia o 3 ciągch mamy:\[\lim\limits_{n\to \infty}\frac{\sin n}{n^2}=0\]Poniżej znajdziesz przykłady ciągów występujących w graniacach, które można obliczyć przy użyciu twierdzenia o 3 ciągch:\[-1\le \sin n\le 1,\,\,\,n\in\mathbb{N}\]\[-1\le \cos n\le 1,\,\,\,n\in\mathbb{N}\]\[-\frac{\pi}{2}\le arctg\, n\le \frac{\pi}{2},\,\,\,n\in\mathbb{N}\]\[0\le arcctg\, n\le \pi,\,\,\,n\in\mathbb{N}\] Granica iloczynu ciągu ograniczonego i ciągu zbieżnego do zeraZ twierdzenia o trzech ciągach wynika następujący przydatny fakt:Jeżeli ciąg \((a_n)\) jest ograniczony, a ciąg \((b_n)\) jest zbieżny do zera, czyli\[\lim\limits_{n\to \infty}b_n=0\]to\[\lim\limits_{n\to \infty}a_n b_n=0\]Powyższe twierdzenie można udowodnić następująco. Zauważmy, że, gdy ciąg \((a_n)\) jest ograniczony, to istnieją stałe \(D\) i \(G\), takie, że:\[D\le |a_n| \le G\]Stąd\[D|b_n|\le |a_n\cdot b_n|\le G|b_n|\]Obliczmy teraz granice ciągów ograniczających:\[\lim\limits_{n\to \infty} D|b_n|=D\lim\limits_{n\to \infty} |b_n|=0\]\[\lim\limits_{n\to \infty} G|b_n|=G\lim\limits_{n\to \infty} |b_n|=0\]ponieważ \(\lim\limits_{n\to \infty} |b_n|=0\), wtedy i tylko wtedy, gdy \(\lim\limits_{n\to \infty} b_n=0\).Zatem na mocy twierdzenia o 3 ciągach:\[\lim\limits_{n\to \infty} |a_n b_n|=0\]co jest równoważne z faktem, że:\[\lim\limits_{n\to \infty} a_n b_n=0\]8. Twierdzenie o dwóch ciągachPrzy liczeniu granic niewłaściwych, w których występują ciągi ograniczone z dołu (lub z góry) przez inne ciągi oraz ciągi, których granice nie istnieją, przydatne jest czasami twierdzenie o 2 ciągch:Jeżeli ciągi \((a_n)\) i \((b_n)\) spełniają warunki:\[a_n\le b_n,\,\,\,dla\,\,\,n>n_0\]oraz\[\lim\limits_{n\to \infty}a_n=\infty\]to\[\lim\limits_{n\to \infty}b_n=\infty\]UWAGA: Prawdziwe jest też analogiczne twierdzenie dla granicy niewłaściwej ciągu równej \(-\infty\).PrzykładKorzystając z twierdzenia o dwóch ciągch uzasadnimy, że:\[\lim\limits_{n\to \infty}(\sin n+e^n)=\infty\]Następująca nierówność jest prawdziwa dla wszystkich \(n\in\mathbb{N}\):\[-1+e^n\le \sin n+e^n\]ponieważ \(\sin n\ge -1\) dla wszystkich \(n\in\mathbb{N}\).Mamy:\[\lim\limits_{n\to \infty}(-1+e^n)=\infty\]Zatem z twierdzenia o dwóch ciągch \(\lim\limits_{n\to \infty}(\sin n+e^n)=\infty\).9. Symbole nieoznaczonelub wyrażenia nieoznaczone, to wyrażenia umowne, które stosuje się przy liczeniu granic ciągu, np. gdy licznik i mianownik zbiegają do zera, tak jak w granicy:\[\lim\limits_{n\to \infty}\frac{\sin \frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}=\left[\frac{0}{0}\right]\]Oto pełna lista 7 symboli nieoznaczonych:\[\left[\frac{0}{0}\right],\,\,\,\left[\frac{\infty}{\infty}\right],\,\,\,[\infty-\infty],\,\,\,[0\cdot \infty],\,\,\,\left[1^{\infty}\right],\,\,\,\left[\infty^{0}\right],\,\,\,\left[0^{0}\right]\]Zapamiętaj, że wyrażenia nieoznaczone nie mają znaczenia liczbowego, bo np, nie można dzielić przez 0, a nieskończoność \(\infty\) to nie liczba tylko obiekt tych wyrażeń są różne w przypadku różnych Z symbolami nieoznaczonymi trzeba bardzo uważać. Zwykle:\[\left[\frac{0}{0}\right]\neq 1\]\[\left[\frac{\infty}{\infty}\right]\neq 1\]\[[\infty-\infty]\neq 0\]\[[0\cdot \infty]\neq 0\]\[\big[1^{\infty}\big]\neq 1\]\[\big[\infty^0\big]\neq 1\]\[\big[0^0\big]\neq 1\]Nie możesz stosować tu żadnych regułek wyuczonych na pamięć (każdy z tych symoli może dać różne wyniki)!Jeszcze jedno, symbolami nieoznaczonymi nie są wyrażenia typu:\[\left[\frac{A}{\infty}\right],\,\,\textrm{dla}\,A\in\mathbb{R},\,\,\,[\infty+\infty],\,\,\,[\infty\cdot \infty],\,\,\,\left[\infty^{\infty}\right]\]Wyniki takich granic możesz bez problemu obliczyć (są zawsze takie same):\[\left[\frac{A}{\infty}\right]=0\]\[[\infty+\infty]=\infty\]\[[\infty\cdot \infty]=\infty\]\[\left[\infty^{\infty}\right]=\infty\] Jak pozbyć się symboli nieoznaczonych?Bardzo często wystarczy wykonać proste przekształcenie, dzięki któremu można łatwo pozbyć się symbolu nieoznaczonego z granicy ciągu:1. Spróbuj wyciągnąć \(n\) do najwyższej potęgi przed nawias (jeśli liczysz granicę z ilorazu ciągów, to wyciągnij najwyższą potęgę w liczniku i mianowniku i skróć co się da).2. Jeśli liczysz granicę z ilorazu ciągów, to zastosuj rozkład na czynniki lub zastosuj wzór skróconego mnożenia w liczniku i mianowniku, następnie skróć co się wynosi granica ciągu \(\frac{n^2-1}{n-1}\)?Sposób IWyciągniemy n do najwyższej potęgi z licznika i mianownika. W tym przypadku najwyższa potęga to 2, więc wyciągniemy \(n^2\):\[\lim\limits_{n\to \infty} \frac{n^2-1}{n-1}=\left[\frac{\infty}{\infty}\right]=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{n^2\left(1-\frac{1}{n^2}\right)}{n^2\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}\right)}=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{1-\frac{1}{n^2}}{\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}}=\left[\frac{1}{0^+}\right]=+\infty\]Sposób IIUżyjemy wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\):\[\lim\limits_{n\to \infty} \frac{n^2-1}{n-1}=\left[\frac{\infty}{\infty}\right]=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{(n-1)(n+1)}{n-1}=\lim\limits_{n\to \infty}(n+1)=+\infty\]10. Jak liczyć granice niewłaściwe ciągów?1. Granica z wyrażenia: liczba + "nieskończoność" = "nieskończoność"\[\color{red}{g+\infty=\infty+g=\infty},\,\,\,gdy\,\,\,-\inftyinfInne przykłady:Granicę ciągu\(\lim\limits_{n\to \infty}\frac{n^2+1}{\sin(n)+2n}\)wpiszesz za pomocą polecenialim (n^2+1)/(sinn+2n) as n->infGranicę ciągu\(\lim\limits_{n\to \infty}\frac{\ln n}{n+1}\)wpiszesz za pomocą polecenialim lnn/(n+1) as n->inf12. Sprawdź swoją wiedzę o ciągach liczbowych - zadania kontrolne1. O ciągu \(a_n\) wiadomo, że\[3\le a_n \le 4,\,\,\,\textrm{dla każdego}\,n\in\mathbb{N}\]Czy ciąg \(a_n\) jest ograniczony z dołu, z góry, a może jest ograniczony?Z definicji ograniczoności ciągu liczbowego wynika, że ciąg \(a_n\) jest:(a) ograniczony z dołu, ponieważ istnieje liczba \(D=3\), taka, że:\[a_n \ge 3=D,\,\,\,\textrm{dla każdego}\,n\in\mathbb{N}\](a) ograniczony z góry, ponieważ istnieje liczba \(G=4\), taka, że:\[a_n \le 4=G,\,\,\,\textrm{dla każdego}\,n\in\mathbb{N}\](c) ograniczony, ponieważ jest ograniczony z dołu i z Ciąg \(a_n\) jest utworzony przez liczby nieparzyste. Czy ten ciąg jest monotoniczny?Zacznijmy od wypisania kilku wyrazów ciągu \(a_n\):\[a_1=1,\,\,a_2=3,\,\,a_3=5,\,\,a_4=7,\,\,a_5=9,...\]Na pierwszy rzut oka wygląda na to, że ciąg \(a_n\) stale rośnie... Aby to wykazać, spróbujmy zapisać wzór opisujący wyrazy ciągu liczb nieparzystych (szukamy zeleżności między wypisanymi powyżej wyrazami ciągu). Ten wzór to (sprawdź!):\[a_n=2n-1\]Zauważmy teraz, że:\[a_{n+1}=2(n+1)-1=2n+1>2n-1=a_n,\,\textrm{dla każdego}\,n\in\mathbb{N}\]co potwierdza nasze wcześniejsze domysły, że ciąg liczb naturalnych, nieparzystych jest ściśle rosnący (a więc monotoniczny).3. Oblicz granicę ciągu\[\lim\limits_{n\to \infty} \left(\frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{n}}\]Skorzystamy z własności potęg (ze wzorów \(\left(\frac{a}{b}\right)^c=\frac{a^c}{b^c}\) oraz \(\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}\)), z własności granic ciągów (granica ilorazu jest ilorazem granic) oraz z podstawowego wzoru na granicę ciągu \(\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{n}=1\):\[\lim\limits_{n\to \infty} \left(\frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{n}}=\lim\limits_{n\to \infty} \frac{1}{n^{\frac{1}{n}}}=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{1}{\sqrt[n]{n}}=\frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}}=\frac{1}{1}=1\]4. Oblicz granicę ciągu\[\lim\limits_{n\to \infty} \frac{(-1)^n}{n}\]Zastosujemy twierdzenie o trzech ciągach. Zauważmy, że:\[\frac{-1}{n}\le \frac{(-1)^n}{n}\le \frac{1}{n}\]ponieważ \(-1\le (-1)^n\le 1\) (przyjmuje na przemian wartości 1 i -1). Ponadto:\[\lim\limits_{n\to \infty} \frac{-1}{n}=\lim\limits_{n\to \infty} \frac{1}{n}=0\]Zatem na mocy twierdzenia o 3 ciągach:\[\lim\limits_{n\to \infty} \frac{(-1)^n}{n}=0\]Zrób kolejny krok i ucz się granic ciągów na przykładach Twierdzenie zbieżny ma tylko jedną przeciwnie, ciąg nieskończony an będzie zbieżny do dwóch granic a i b (a≠b). Weźmy Ƹ = > |a-b|, (zauważ Ƹ>0). Zgodnie z definicją granicy ciągu większość wyrazów ciągu leży w przedziale (a- Ƹ, a+ Ƹ) oraz (b- Ƹ, b+ Ƹ), ale to jest niemożliwe bo przedziały wcześniej podane są rozłączne. Uzyskaliśmy sprzeczność, co udowodniło, że ciąg zbieżny ma tylko jedną twierdzenia dotyczą liczenia nieskończony ciąg an jest ciągiem stałym i an=a, to ciąg an jest zbieżny i Twierdzenie i an≥ 0 dla każdej liczby n, to .Przykład że i Ponadto dla każdej liczby naturalnej dodatniej n dla każdej liczby naturalnej dodatniej n Na podstawie twierdzenia 3 mamy: Twierdzenie |q|0, to ciąg nieskończony an o wyrazie ogólnym an=, n>1, jest zbieżny i Twierdzenie 7. (o trzech ciągach)Jeśli dane są trzy ciągi nieskończone an, bn, cn, oraz istnieje taka liczba , że dla każdej liczby naturalnej prawdziwa jest nierówność , to .Przykład granicę Dla każdej liczby naturalnej dodatniej poniższa nierówność jest prawdziwa:,Czyli Ponadto Zatem na mocy twierdzenia 7:Zadania o zrobienia 1. Wyznacz granicę ciągu o wyrazie ogólnym an, jeśli: a) an = 4 b) an = 3 + Odp. a) 12 b) 32. Oblicz granicę ciągu o wyrazie ogólnym an, jeśli: a) an = b) an = Odp. a) b) 3. Oblicz granicę ciągu o wyrazie ogólnym an, jeśli: a) an = b) an = c) an = Odp. a) 1 b) -7 c) -1

jak liczyć granice ciągu